正多面体の定義

多分いくつかの方法があるが、

同一の正多角形で構成された同じ頂点に集まる面の数が全て等しい「凸」多面体

というのが、一番普通に言われるものである。
ちなみに（現在の）Wikipediaでは

正多面体 (regular polyhedron)、またはプラトンの立体 (Platonic solid) とは、すべての面が同一の正多角形で構成されてあり、かつすべての頂点において接する面の数が等しい多面体のこと。

と「凸」が落ちている。よっぽど訂正しようかと思ったが、しばらくほっといてみよう。
凸性が必要であることは、数年前、友人と議論になった。
そのとき丁度、正12面体のことを話していたので、頭の中で図を描いて、（自己交叉しないとすれば）凸性はいらないよね。っていったら、友人はそれについて書物を見たばかりだったので、
「何言っているの、そんなことも分からないの？大丈夫？」
ていう反応をされて、*1気落ちした覚えがある。

で時々思考していたのだが、結論は、
凸性をはずせば、正20面体の場合にのみ、変異体がいくつかあることが分かった。
数は本来の凸な物を含めて3種類のように見える。

*1:これは数学を専門としているもの同士の会話としては最終的な感じ、同じ仲間から除外されたといった方がいい