「微分のことは微分でせよ」

クイズダービー*1アーカイブを見ていたら、

高木貞治積分を使わずに微分だけでできることを書いた論文で、末尾に書いたダジャレは?

という問題の解答だっった。

聞いたことはあるので、解答は分かったが、そもそも、微分積分は表裏一体である。(ニュートン or ライプニッツ)片方だけ使うほうが理不尽だと思う。

どういう意味だろうと、ネット検索していたら、

https://iss.ndl.go.jp/books/R000000004-I6848762-00

が引っかかった。

梅田先生なら、いいかげんなことは書くまいと思い。図書館で転写してきた。

 

しばらく読んで、高木貞治

連続関数の原始関数の存在

について、積分を使わなくてもできるよ、と言っただけのようだ。

私がやると、連続関数のリーマン積分可能性を使って説明してしまいそうだ。*2

梅田先生はそのあたりも含めて「有限増分不等式」で十分だとしている。書き方を変えれば「リーマン上積分」で十分であるとも言えるらしい。積分の収束性、それを導くための一様連続性*3は示さなくていいということらしい。

 

あと、この諺と合わせて取り上げられるが、結局後の人が関係付けたらしい「項別微分十分条件」も精密化してまとめてある。

 

さらに

平均値の定理は不要

という所はさすがである。伝統的な微分積分の教程で習った私でもそう思う。*4

まあ、私は言われてみれば気づく程度の鈍感さではある。

 

 定理をいかに証明すべきかについては、あまり真剣に議論しないほうがいい。特に教育的配慮を入れた場合、それは自然科学ではなくなる。

有限増分不等式の方が多変数に拡張しやすい。1変数で平均値の定理と比べて「本質的か」とか「易しいか」とかの議論はあまり意味がない。当然「微分のことは微分で」というのは、あまり意味がない*5。「選択公理を使わずに」とかいうのでやっと意味が生じる。

 

そうか、考え方によっては「連続関数」の定義は積分を使うのがよろしいのか?

連続関数とは、ある関数の原始関数になっている関数である。

これこそ、教育上まずい定義であろう。

良し悪しは別として、解析概論での複素対数関数の定義は

\log z=\int _{1}^{z}\frac{1}{w}dw

となっていたのを思い出した。

*1:初王手の薬が提供の奴

*2:高木貞治の「解析概論」もそうらしい

*3:大体、コンパクト距離空間上の連続関数が一様連続だなんて主張はトートロジーにも見える

*4:平均値の定理が必要になるのは、ロピタルの定理ぐらいかな?あれは主張を覚える気がおこらない定理ではある。解析関数ならテイラー展開の主要項を見た方が安心だ。

*5:高木貞治も他ではそう書いているらしい